Frações

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Entretanto, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo, os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida estava correta, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração:

Numerador Denominador

Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Assim, a fração 1/4, também pode ser escrita dessa maneira: 

1 4

Ela representa um todo dividido em quatro partes, das quais apenas uma é trabalhada:

1/4	1/4
1/4	1/4

ENIGMA DE FRAÇÕES

"Esta história tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X.Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente.Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança:O mais velho receberia a metade.Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais de camelo!O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e de camelo!Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

•  o mais velho recebe: de 36 = 18. 

• o irmão do meio recebe: de 36 = 12. 

• o caçula recebe: de 36 = 4

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo? Ouçamos de novo nosso matemático:- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.Veja, colega, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?"

Fonte: O Homem que Calculava - Malba Tahan

Sudoku - Jogo

Projetado por Howard Garne, arquiteto aposentado, e baseado no quadrado latino criado pelo suíço Leonhard Euler, teve as suas primeiras publicações nos Estados Unidos, onde é conhecido por Number Place. Em 1984, se popularizou no Japão através da empresa Nikoli, e recebeu o nome de sudoku, abreviação japonesa que significa "os dígitos devem permanecer únicos".

Trata-se de um jogo de lógica para treinar o cérebro, pois é necessário criar e utilizar estratégias para colocar os números faltantes numa tabela 9x9.

Divirtam-se!

Mínimo múltiplo comum - MMC

A maioria das resoluções de cálculos matemáticos envolvem conceitos simples que aprendemos logo cedo, mas que com o tempo vamos esquecendo e isso acaba dificultando a absorção dos novos conteúdos. Para entender como funciona o MMC, é primeiramente necessário saber o que o múltiplo de um número natural:

• Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-o pelos números naturais, ou seja,

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

       

Exemplos: 30 é múltiplo de 5 porque 5 * 6 = 30; e 16 é múltiplo de 4 poque 4 * 4 = 16.

        Observações importantes:

        1) Um número tem infinitos múltiplos

        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles:        

Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Assim, 12 é o mínimo múltiplo comum de 4 e 6:

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

A maneira mais fácil de se encontrar o m.m.c de dois ou mais números é através do processo de decomposição simultânea, em que todos eles são decompostos ao mesmo tempo. Tomando como exemplo o cálculo do m.m.c de 15, 24 e 60, é sempre necessário começar esse processo com o menor número possível, no caso 2, até que não seja mais possível decompor com ele, e aumentar gradativamente, no caso 3 e depois 5.

Portanto, o m.m.c. (15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADES DO M.M.C.

Ao resolver o m.m.c. de alguns números, é possível utilizar algumas propriedades afim de tornar o cálculo ainda mais simples:

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). 

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15.

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Video Aulas de Matemática

Uma vídeo aula é uma aula gravada e distribuída em forma de vídeo. A explosão da produção de vídeo aulas deu-se na década de 1980, com a popularização dos videocassete, através das fitas VHS. Na década de 1990, os DVDs passaram a substituir as fitas VHS e uma difusão ainda mais abrangente foi propiciada através da internet. Atualmente, é um importante recurso didático que auxilia na fixação dos conteúdos.

Existem bons sites brasileiros onde pode se encontrar suporte escolar, inclusive nas áreas de exatas, como matemática. 

A Fundação Lemann é certamente a que mais se destaca, mas você pode preferir a Calcule Mais, ou o site O Kuadro. Nos três casos, a aceitação do público é muito boa e há uma variedade enorme de conteúdos desde o básico ao mais avançado. O importante é que fica a critério da pessoa o entendimento dos assuntos e que as vídeo aulas são apenas uma opção mais dinâmica de estudo.

Raciocínio Lógico

Diferentemente de outras áreas da matemática, o raciocínio lógico procede da própria elaboração do individuo. É algo que não se pode ensinar de forma direta, mas que se vai desenvolvendo à medida que se interage com o meio envolvente. Serve para analisar, argumentar, justificar ou provar raciocínios. É caracterizado pela sua precisão e exatidão, baseando-se em dados prováveis ou em fatos, portanto, a lógica trata do estudo dos métodos e dos princípios utilizados para distinguir o correto do incorreto.

Desafios lógicos: (selecione para saber a resposta)

• Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio?

        Resposta: 3 quilos.

• Na margem de um rio havia 3 pessoas e um barco, eles tinham que atravessar o rio para a outra margem, mas o barco só aguentava 80 Quilos. Duas crianças pesavam 40 quilos cada uma e um adulto pesava 80 Quilos. Como fazer para os 3 atravessarem até a outra margem do rio com o barco?

       Resposta: Primeiro passam as duas crianças para o outro lado, uma volta e outra fica. Depois atravessa o adulto. Assim chegando na outra margem a criança que já tinha passado volta pega a outra criança. Pronto, todos estão do outro lado.

• Três pessoas vão pescar: 2 pais e 2 filhos. Como isso é possível?

          Resposta: As três pessoas são: o avô, o pai e o filho.

Pensem bem!

Logaritmos

No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de astronomia e navegação eram longos e trabalhosos, assim, os logaritmos surgiram para realizar simplificações transformando multiplicações e divisões em operações mais simples, como adição e subtração. Anteriormente à invenção de calculadoras e computadores, os logaritmos eram uma ferramenta constantemente utilizada. Embora os créditos de sua invenção tenham sido dados a John Napier, acredita-se seis anos antes de ele ter começado a trabalhar nessa direção, a ideia já tinha ocorrido a Jost Burgi. Além disso, Henry Briggs foi responsável pela aceitação dos logaritmos pelos cientistas.

Aplicações dos logaritmos:

• Na matematica financeira, seu uso é imprescindível na determinação de juros compostos.
• A própria escala Richter é logarítmica e por meio dela é possível determinar a magnitude, epicentro e a amplitude de um terremoto.
• Para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa, os químicos utilizam princípios dos logaritmos, além de estar presente em cálculos de pH.
• Na medicina, é utilizado para descobrir a quantidade de princípio ativo de um medicamento no corpo do paciente.

Curiosidades sobre os números

• O "avos", usado quando o denominador de uma fração é maior do que 10, vem do sufixo de oitavo, que por sua vez, vem do latim e significa parcela ou fração. Outro exemplo de seu uso é na palavra centavo que é uma fração da moeda.

• O número de ouro é uma das teorias mais surpreendentes da matemática, e também a mais envolvida em mentiras. Ela fala de uma unidade irracional que estaria presente em vários elementos da natureza. Representado pelo símbolo grego Phi, o número 1,6180, equivalente a razão entre diagonal e lado de um pentágono regular, indicaria a harmonia e por isso estaria presente em obras de Leonardo da Vinci, construções como as pirâmides do Egito e até no comprimento das falanges humanas. Isso também o levou a ser questionado por muitos teóricos recentes que afirmam que sua presença em obras de arte é pura especulação.

• Escrito pelo brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, sob o pseudônimo de Malba Tahan, o livro "O homem que calculava" trouxe, entre outras teorias, a dos "quatro quatros". Segundo ela, é possível formar qualquer número inteiro de 0 a 100 utilizando quatro numerais 4 e sinais de operações matemáticas, por exemplo, para obter um 3, basta fazer a seguinte operação (4+4+4)/4.

• Números palíndromos são números que podem ser lidos da mesma maneira, independendo do sentido, mantendo o seu valor inalterado. Exemplos: 555, 323, 22522, 101 e 999. Esse padrão também acontece em datas, como, 20/02/2002.

• Dois números são ditos amigos se cada um deles é igual à soma dos divisores próprio do outro. Pitágoras descobriu o primeiro par de números amigos: 220 e 284, mas atualmente já se conhecem todos os números amigos inferiores a 1 bilhão.

• Em 1995, um japonês recitou, de memória, os 42.000 primeiros dígitos do número Pi (3,141592...) em 9 horas!